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?  本報記者 孫立彬

近年來，人工智能（AI）與數(shù)學的雙向需求日益增多。一方面，當大模型參數(shù)突破萬億，傳統(tǒng)基于經(jīng)驗的調(diào)參方法陷入瓶頸，模型的泛化能力、安全性、能耗控制等核心問題亟待數(shù)學理論的系統(tǒng)性支撐，如，大模型優(yōu)化依賴凸優(yōu)化與非凸優(yōu)化理論，Transformer架構的注意力機制根植于概率統(tǒng)計與信息論，機器學習安全涉及博弈論與密碼學，多模態(tài)融合則需要拓撲學與流形學習的支撐。另一方面，AI 對數(shù)學的反哺效應愈發(fā)顯著，DeepMind公司開發(fā)的AI系統(tǒng)AlphaGeometry在證明歐幾里得平面幾何定理方面超越了國際數(shù)學奧林匹克競賽參賽者平均水平，其核心正是將幾何問題轉化為AI擅長的符號推理任務，這種模式正在改寫數(shù)學研究范式。

7月26日，在世界人工智能大會（WAIC）期間，“人工智能的數(shù)學邊界與基礎重構”高端論壇及“數(shù)學與人工智能”學術會議同日舉行，全方位展現(xiàn)了AI與數(shù)學交叉領域的深度碰撞。

AI發(fā)展離不開數(shù)學

中國科學院院士、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員袁亞湘表示，數(shù)學與人工智能的融合發(fā)展將日益緊密，數(shù)學在人工智能發(fā)展中的基礎性作用將愈發(fā)凸顯。他指出，當前亟須提升社會各界，特別是科技政策制定部門對數(shù)學重要性的認識。在布局國家人工智能戰(zhàn)略時，不能僅聚焦于計算機等工科領域，而應當充分重視數(shù)學學科的關鍵支撐作用，吸納數(shù)學家深度參與，以充分發(fā)揮多學科協(xié)同創(chuàng)新的優(yōu)勢。

里約熱內(nèi)盧聯(lián)邦大學應用數(shù)學副教授兼數(shù)學研究所副所長Fabio Ramos認為，盡管AI能生成逼真的模擬數(shù)據(jù)，但缺乏對底層物理規(guī)律的建模能力。為此，他提出通過數(shù)學結構將物理原理嵌入神經(jīng)網(wǎng)絡架構，而非簡單引入物理變量，以構建更泛化的框架，利用數(shù)據(jù)驅動方式實現(xiàn)物理規(guī)律的隱性表達，通過物理解法知道AI模型的設計，可以推動AI在科學計算領域的突破性應用。

西安交通大學教授、西安數(shù)學與數(shù)學技術研究院副院長孟德宇強調(diào)了數(shù)學思維在機器學習中的核心作用，認為數(shù)據(jù)、模型和算法的本質是一種形式化語言，只有通過嚴格的數(shù)學分析才能深刻理解并改進機器學習方法。他以損失函數(shù)和卷積算子為例，指出傳統(tǒng)工科方法往往基于簡化假設（如固定損失函數(shù)或僅考慮平移等變性），而數(shù)學視角能揭示更復雜的數(shù)據(jù)噪聲結構和算子性質（如旋轉/尺度等變性），從而設計出更魯棒的模型。他呼吁數(shù)學研究者應積極介入AI領域，通過理論創(chuàng)新與工科團隊合作，在算法設計、模型解釋等環(huán)節(jié)發(fā)揮不可替代的作用，最終推動機器學習在性能和可解釋性上的雙重突破。

武漢大學弘毅特聘教授、湖北國家應用數(shù)學中心主任楊志堅犀利地指出，當前AGI（通用人工智能）的發(fā)展模式是“亂戰(zhàn)”狀態(tài)，缺乏像傳統(tǒng)科研那樣的組織性。為此，他提出三個具體建議：第一，數(shù)學界需要組織起來，系統(tǒng)性地開展數(shù)據(jù)基礎設施建設；第二，重視邊緣分布等關鍵數(shù)據(jù)特征的挖掘，提升研究效率；第三，在擁抱大模型的同時，要保持理性認知，建立科學的評估體系。

數(shù)學突破是否是通向AGI的鑰匙？

菲爾茲數(shù)學科學研究院前院長Kumar Murty指出，AI的“幻覺”或許是想象力的種子，而人類數(shù)學家的價值在于從反直覺中提煉真理；法國學者Mathieu Laurière提出，多代理AI系統(tǒng)的社交智能進化，將是AGI突破的關鍵方向，而拓撲學等數(shù)學工具將在其中發(fā)揮核心作用。

AI如何重塑數(shù)學研究

據(jù)介紹，AI對數(shù)學研究的影響歷經(jīng)數(shù)十年演進，已從早期的計算輔助逐步發(fā)展為具備協(xié)同能力的研究伙伴，特別是2020年以來深度學習與大語言模型的發(fā)展使AI從“驗證工具”升級為“發(fā)現(xiàn)助手”，開始主動參與數(shù)學規(guī)律的挖掘與猜想的生成。這一轉變徹底重塑了數(shù)學研究的范式，讓機器從“證明的執(zhí)行者”變?yōu)椤耙?guī)律的探索者”。

北京大學博雅特聘教授、北京大學國際機器學習研究中心副主任、北京中關村學院常務副院長董彬表示，數(shù)學證明過程的精確性要求使得任何微小差錯都會導致整個證明失效，而AI工具（如Lean證明輔助系統(tǒng)）不僅能夠幫助數(shù)學家將自然語言表述的直覺轉化為嚴格的形式化證明，有效規(guī)避人為失誤，還可以快速識別新理論與既有數(shù)學體系的聯(lián)系，為數(shù)學家提供關鍵的研究方向評估。此外，AI可自動化處理繁瑣計算等重復勞動可以顯著降低數(shù)學研究的技術門檻。這種變革不僅會加速數(shù)學研究進程，更將重塑數(shù)學作為“基礎語言”的學科定位，使其從封閉的專家系統(tǒng)轉變?yōu)殚_放的問題解決平臺。

上海交通大學自然科學研究院院長金石認為，AI與數(shù)學的結合本質上是一種“認知增強”。因此，AI for Math的真正價值不在于替代傳統(tǒng)方法，而在于創(chuàng)造更多新的機會去探索更多未知世界，系統(tǒng)性地拓展人類科學的認知邊界，最終實現(xiàn)從解決既定問題到發(fā)現(xiàn)未知問題的范式轉換。

不過，專家們也注意到當前AI在創(chuàng)新方面存在的明顯局限性。

1994年菲爾茲獎得主，中國科學院外籍院士、南方科技大學講席教授Efim Zelmanov表示，數(shù)學作為一門具有實驗性質的科學，在猜想提出和數(shù)論研究等需要大量計算的領域，人工智能能夠有效替代人工計算。但數(shù)學證明的本質在于理解而非單純計算，人工智能在需要深度思考和創(chuàng)造性思維的數(shù)學證明領域，尚難以完全替代人類研究者的獨特作用。

劍橋大學數(shù)學家Kevin Buzzard也指出：“AI能生成漂亮的證明步驟，卻提不出‘朗蘭茲綱領’這樣的宏大理論?！睓C器的突破多源于對海量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計歸納，而人類數(shù)學家能從看似無關的領域中提煉出統(tǒng)一框架（如朗蘭茲綱領將數(shù)論、代數(shù)幾何與表示論聯(lián)系起來），這種“從0到1”的原創(chuàng)性，仍是AI尚未跨越的鴻溝。